422쪽 상자 안의 증명을 아래와 같이 바로잡습니다
명제: f:X → Y가 연속함수이고 U ⊆ Y가 열린 집합이면 f-1(U)는 X의 열린 부분집합이다.
증명: x가 f-1(U)의 원소라고 하자. 그러면 f(x) ∈ U다. 이때 U가 열린 집합이므로 η > 0에 대하여 u ∈ U가 존재해서 d(f(x), u) < η를 만족한다. 우리는 δ > 0에 대하여 y ∈ f-1(U)가 존재해서 d(x, y) < δ임을 보이면 된다. 하지만 y ∈ f-1(U)이면, 그리고 그런 경우에만 f(y) ∈ U다. 우리는 f(y) ∈ U가 존재해서 d(f(x), f(y)) < η를 만족함을 안다.
이때, f가 연속이므로 d(x, y) < θ인 θ > 0이 존재해서 d(f(x), f(y)) < η를 만족한다. 결국, ϑ = θ라 두면 증명 끝.
(홍은하 님께서 알려주셨습니다.)